物理信息神经网络 (PINNs)

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这是一个使用 PyTorch 和 TensorFlow 简单实现的物理信息神经网络 (PINNs)。

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属性

原始工作: Maziar Raissi、Paris Perdikaris 和 George Em Karniadakis

GitHub 仓库: https://github.com/maziarraissi/PINNs

链接: https://github.com/maziarraissi/PINNs/tree/master/appendix/continuous_time_identification%20(Burgers)

@article{raissi2017physicsI, title={物理信息深度学习（第一部分）：非线性偏微分方程的数据驱动求解}, author={Raissi, Maziar and Perdikaris, Paris and Karniadakis, George Em}, journal={arXiv 预印本 arXiv:1711.10561}, year={2017} }

@article{raissi2017physicsII, title={物理信息深度学习（第二部分）：非线性偏微分方程的数据驱动发现}, author={Raissi, Maziar and Perdikaris, Paris and Karniadakis, George Em}, journal={arXiv 预印本 arXiv:1711.10566}, year={2017} }

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依赖项

主要依赖项：

• TensorFlow（用于 TensorFlow 实现）：pip install --upgrade tensorflow
• PyTorch（用于 PyTorch 实现）：pip install --upgrade torch
• Jupyter Notebook/Lab：pip install jupyterlab（JupyterLab）或 pip install notebook

次要依赖项：

• numpy：pip install numpy
• seaborn：pip install seaborn
• matplotlib：pip install matplotlib
• pyDOE（用于 TensorFlow 实现）：pip install pyDOE

PINNs 快速上手指南

PINNs (Physics-informed Neural Networks，物理信息神经网络) 是一种将物理定律（通常表现为偏微分方程）嵌入到深度学习中的方法。本项目提供了基于 PyTorch 和 TensorFlow 的简洁实现，用于求解非线性偏微分方程或发现未知的物理规律。

环境准备

在开始之前，请确保您的系统满足以下要求：

• 操作系统：Linux, macOS 或 Windows
• Python 版本：推荐 Python 3.8 及以上
• 开发环境：推荐使用 Jupyter Notebook 或 JupyterLab 进行交互式实验

前置依赖

本项目主要依赖以下核心库：

• 深度学习框架：TensorFlow 或 PyTorch（二选一或同时安装）
• 科学计算与可视化：NumPy, Matplotlib, Seaborn
• 实验设计：pyDOE (仅 TensorFlow 实现需要)

提示：国内开发者建议使用清华源或阿里源加速安装，以提升下载速度。

安装步骤

您可以使用 pip 配合国内镜像源快速安装所需依赖。

1. 安装核心深度学习框架

根据您选择的框架执行以下命令（推荐使用国内镜像）：

选项 A：安装 TensorFlow

pip install --upgrade tensorflow -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

选项 B：安装 PyTorch

pip install --upgrade torch -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

(注：如需 GPU 支持，请访问 PyTorch 官网获取带有 CUDA 版本的安装命令)

2. 安装辅助依赖

安装运行示例代码所需的可视化和数据处理库：

pip install jupyterlab numpy seaborn matplotlib -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

如果您计划运行 TensorFlow 版本的代码，还需额外安装 pyDOE：

pip install pyDOE -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

基本使用

本项目旨在提供清晰的参考实现。最简单的使用方式是直接运行官方提供的 Jupyter Notebook 示例。

1. 获取代码

克隆原始仓库并进入相关目录（以 Burgers 方程为例）：

git clone https://github.com/maziarraissi/PINNs.git
cd PINNs/appendix/continuous_time_identification\ \(Burgers\)

2. 运行示例

启动 JupyterLab 并打开对应的笔记本文件：

jupyter lab

在界面中找到并打开 .ipynb 文件（例如 Burgers.ipynb 或类似名称）。

3. 核心逻辑简述

在 Notebook 中，您将看到如下核心流程：

1. 数据生成：生成稀疏的观测数据点。
2. 网络构建：定义一个全连接神经网络来近似解 $u(t, x)$。
3. 损失函数定义：
   • 数据损失：预测值与观测数据的均方误差。
   • 物理损失：将神经网络输出代入偏微分方程（如 Burgers 方程），计算残差（PDE Residual）。
4. 模型训练：使用优化器（如 L-BFGS 或 Adam）最小化总损失（数据损失 + 物理损失）。

以下是一个概念性的代码片段展示（基于 PyTorch 风格），展示如何定义物理损失：

# 伪代码示例：定义物理信息损失
def physics_loss(model, t, x):
    t.requires_grad = True
    x.requires_grad = True
    
    u = model(torch.cat([t, x], dim=1))
    
    # 自动微分计算偏导数
    u_t = torch.autograd.grad(u, t, grad_outputs=torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    u_x = torch.autograd.grad(u, x, grad_outputs=torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    u_xx = torch.autograd.grad(u_x, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0]
    
    # Burgers 方程残差: u_t + u*u_x - nu*u_xx = 0
    f = u_t + u * u_x - 0.01 * u_xx
    
    return torch.mean(f**2)

通过运行 Notebook 中的完整单元格，即可完成从训练到结果可视化的全过程。