有限基物理信息神经网络（FBPINNs）

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本仓库允许您使用有限基物理信息神经网络（FBPINNs）求解与偏微分方程（PDEs）相关的正问题和反问题。

🔥 重大更新 🔥：我们已用 JAX 重写了 fbpinns 库；相比原有的 PyTorch 代码，现在运行速度提升了 10 到 1000 倍（通过使用 jax.vmap 并行化子域计算），并且可扩展至上千个子域。此外，我们还新增了多项功能：现在可以求解反问题、添加任意类型的边界/数据约束、定义不规则或多层级的区域分解以及自定义子域网络，同时高层级接口也更加灵活易用。更多信息请参阅发布说明。

FBPINNs 的详细描述见此处：有限基物理信息神经网络（FBPINNs）：一种用于求解微分方程的可扩展区域分解方法，B. Moseley、T. Nissen-Meyer 和 A. Markham，2023 年 7 月《计算数学进展》]。您还可以在此处查看我们在 2023 年 Maths4DL 大会上的演讲幻灯片这里。

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图 1：FBPINN 与 PINN 求解高频一维简谐振子

为什么选择 FBPINNs？

• 物理信息神经网络（PINNs）是求解与 PDEs 相关的正问题和反问题的一种流行方法。
• 然而，PINNs 在处理高频率和/或多尺度解的问题时往往表现不佳。
• 这主要是由于神经网络的谱偏差以及 PINN 优化问题的复杂度急剧增加所致。
• FBPINNs 通过结合区域分解、各子域归一化和灵活的子域训练调度，在这一领域显著提升了 PINN 的性能。
• 实验表明，在求解高频率和多尺度问题时，FBPINNs 在准确性和计算效率方面均显著优于 PINNs（图 1 和图 2）。

图 2：FBPINN 求解具有多尺度源的 (2+1)D 波动方程

FBPINNs 与 PINNs 有何不同？

图 3：FBPINN 工作流程概览

为提升 PINN 对高频率/多尺度解的可扩展性：

• FBPINNs 将问题域划分为多个小的、相互重叠的子域（图 3）。
• 每个子域内放置一个神经网络，并将 PDE 的解定义为所有子域网络之和。
• 每个子域网络通过乘以一个光滑可微的窗口函数被局部限制在其子域内。
• 最后，每个网络的输入都会在其所属子域上进行单独归一化。

其假设是，这种“分而治之”的方法能够显著降低 PINN 优化问题的复杂度。此外，通过各子域的单独归一化，确保每个子域网络所面对的“有效”频率较低，从而减轻谱偏差的影响。

子域调度

图 4：使用时间步进子域调度器求解时变伯格斯方程

使用区域分解的另一个优势在于，我们可以控制在每一步训练中求解域的哪些部分。 这在需要控制边界条件如何在整个域内传播时非常有用。 例如，我们可以定义一个时间步进调度器来求解时变 PDE，并从一组初始条件开始按时间顺序逐步学习解（图 4）。 这是通过指定一个来自 fbpinns.schedulers 的子域调度器来实现的，该调度器会定义在每一步训练中哪些子域处于活跃训练状态，哪些子域的参数保持固定。

安装

fbpinns 运行仅需 Python 库即可。

JAX 被用作 fbpinns 的主要计算引擎。

要安装 fbpinns，我们建议您创建一个新的 Python 环境，例如：

conda create -n fbpinns python=3  # 使用 conda
conda activate fbpinns

然后克隆本仓库：

git clone git@github.com:benmoseley/FBPINNs.git

并在 FBPINNs/ 根目录下运行以下命令（此命令也会安装所有依赖项）：

pip install -e .

注意：此操作将以“可编辑模式”安装 fbpinns 包——您可以对源代码进行修改，这些更改会立即反映在包中。

入门

通过执行以下步骤，可以定义并求解正向和反向的偏微分方程问题：

1. 定义问题域，选择或自定义一个 fbpinns.domains.Domain 类。
2. 定义要求解的偏微分方程以及任何问题约束条件（如边界条件或数据约束），选择或自定义一个 fbpinns.problems.Problem 类。
3. 定义 FBPINN 使用的区域分解，选择或自定义一个 fbpinns.decompositions.Decomposition 类。
4. 定义放置在每个子域中的神经网络，选择或自定义一个 fbpinns.networks.Network 类。
5. 通过将这些类及其初始化参数传递给一个 fbpinns.constants.Constants 对象，来跟踪所有的训练超参数。
6. 使用 Constants 对象实例化一个 fbpinns.trainers.FBPINNTrainer，开始 FBPINN 的训练。

例如，要求解上文所示的 1D 谐振子问题（图 1）：

import numpy as np

from fbpinns.domains import RectangularDomainND
from fbpinns.problems import HarmonicOscillator1D
from fbpinns.decompositions import RectangularDecompositionND
from fbpinns.networks import FCN
from fbpinns.constants import Constants
from fbpinns.trainers import FBPINNTrainer

c = Constants(
    domain=RectangularDomainND,  # 使用 1D 问题域 [0, 1]
    domain_init_kwargs=dict(
        xmin=np.array([0,]),
        xmax=np.array([1,]),
    ),
    problem=HarmonicOscillator1D,  # 求解 1D 谐振子问题
    problem_init_kwargs=dict(
        d=2, w0=80,  # 定义常微分方程的参数
    ),
    decomposition=RectangularDecompositionND,  # 使用矩形区域分解
    decomposition_init_kwargs=dict(
        subdomain_xs=[np.linspace(0,1,15)],  # 使用 15 个等间距的子域
        subdomain_ws=[0.15*np.ones((15,))],  # 子域宽度为 0.15
        unnorm=(0.,1.),  # 定义子域网络的非归一化范围
    ),
    network=FCN,  # 在每个子域中放置一个全连接网络
    network_init_kwargs=dict(
        layer_sizes=[1,32,1],  # 包含 2 层隐藏层
    ),
    ns=((200,),),  # 使用 200 个配点进行训练
    n_test=(500,),  # 使用 500 个点进行测试
    n_steps=20000,  # 训练步数
    optimiser_kwargs=dict(learning_rate=1e-3),
    show_figures=True,  # 训练过程中显示图表
)

run = FBPINNTrainer(c)
run.train()  # 开始训练 FBPINN

FBPINNTrainer 将自动输出训练统计信息、图表以及 TensorBoard 摘要。可以通过安装 TensorBoard 并运行 tensorboard --logdir results/summaries/ 来查看 TensorBoard 摘要。

与 PINN 的比较

使用上述相同的超参数，可以轻松训练一个 PINN，方法如下：

from fbpinns.trainers import PINNTrainer

c["network_init_kwargs"] = dict(layer_sizes=[1,64,64,1])  # 使用更大的神经网络
run = PINNTrainer(c)
run.train()  # 开始在同一问题上训练 PINN

进一步学习

请参阅 examples 文件夹，其中包含更多高级示例，涵盖：

• 如何定义自己的 Problem 类
• 如何使用硬边界约束
• 如何求解逆问题
• 如何使用子域调度

可扩展 PINN 和最小化 FBPINN 实现研讨会

请查看我们的 可扩展 PINN 研讨会，其中我们展示了如何在 JAX 中编写一个最小化的 FBPINN 和 ELM-FBPINN。

常见问题解答

安装

使用 Apple GPU 时，我收到错误：RuntimeError: This version of jaxlib was built using AVX instructions, which your CPU and/or operating system do not support.。

• 截至本次提交，JAX 仅对 Apple GPU 提供实验性支持。您可以从 源代码 构建 JAX，或者使用 conda 安装仅限 CPU 的版本：pip uninstall jax jaxlib 和 conda install jax -c conda-forge。

使用 GPU

如何使用 GPU 训练 FBPINNs？

• 完全相同的代码应该可以在 GPU 上自动运行，无需任何修改。请确保已安装 GPU 版本的 JAX，并且 JAX 能够识别您的 GPU 设备（例如，通过检查 jax.devices()）。

理解仓库

但我并不了解 JAX！？

• 我们强烈建议您熟悉 JAX——它是一个功能强大、通用的加速可微计算库。但即使您不想学习 JAX，也没关系——所有前端类（Domain、Problem、Decomposition 和 Network）都可以仅基于对 jax.numpy 的基本理解来定义（而 jax.numpy 本质上与 numpy 相同）。

方法论

FBPINNs 与其他 PINN + 区域分解方法有何不同？

• 与其他 PINN + 区域分解方法（如 XPINNs）相比，FBPINNs 在数学构造上不需要在其损失函数中添加额外的界面项，并且其解在子域界面处是连续的。本质上，FBPINNs 可以被视为为 PINN 定义了一种自定义的神经网络架构——其他方面保持不变。

引用

如果您发现 FBPINNs 非常有用并在自己的工作中使用了它们，请使用以下引用：

@article{Moseley2023,
author = {Moseley, Ben and Markham, Andrew and Nissen-Meyer, Tarje},
doi = {10.1007/S10444-023-10065-9},
journal = {Advances in Computational Mathematics 2023 49:4},
month = {jul},
number = {4},
pages = {1--39},
publisher = {Springer},
title = {{有限基物理信息神经网络 (FBPINNs): 一种用于求解微分方程的可扩展区域分解方法}},
url = {https://link.springer.com/article/10.1007/s10444-023-10065-9},
volume = {49},
year = {2023}
}

@article{Dolean2024,
author = {Dolean, Victorita and Heinlein, Alexander and Mishra, Siddhartha and Moseley, Ben},
doi = {https://doi.org/10.1016/j.cma.2024.117116},
issn = {0045-7825},
journal = {Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering},
pages = {117116},
title = {{基于多级区域分解的物理信息神经网络架构}},
url = {https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782524003724},
volume = {429},
year = {2024}
}

@article{VanBeek2025,
author = {van Beek, Jan Willem and Dolean, Victorita and Moseley, Ben},
doi = {10.1016/J.CMA.2025.118583},
issn = {0045-7825},
journal = {Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering},
pages = {118583},
title = {{用于可扩展且条件良好的随机特征方法的局部特征过滤}},
url = {https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782525008552},
volume = {449},
year = {2025}
}

复现我们的论文

要复现我们原始 FBPINN 论文的精确结果：有限基物理信息神经网络（FBPINNs）：一种用于求解微分方程的可扩展区域分解方法，B. Moseley、T. Nissen-Meyer 和 A. Markham，2023 年 7 月《计算数学进展》]，您需要使用旧版的 PyTorch FBPINN 实现，该实现可在这一 提交记录 中找到。

要复现我们另一篇论文的结果：基于多级区域分解的物理信息神经网络架构，请参阅此 分支。

要复现我们第三篇论文的结果：用于可扩展且条件良好的区域分解随机特征方法的局部特征滤波，请参阅此 分支。

还有其他问题吗？

请在 GitHub 上提交 issue，或随时与我们联系。

FBPINNs 快速上手指南

FBPINNs (Finite Basis Physics-Informed Neural Networks) 是一种基于区域分解的可扩展物理信息神经网络框架，专门用于高效求解具有高频或多尺度特性的偏微分方程（PDE）正演与反演问题。相比传统 PINN，它在处理复杂波动方程和多尺度源项时具有显著的性能优势。

环境准备

在开始之前，请确保您的开发环境满足以下要求：

• 操作系统: Linux, macOS 或 Windows (WSL 推荐)
• Python 版本: Python 3.8+
• 核心依赖:
  • JAX: 作为主要计算引擎（支持 CPU/GPU/TPU 加速）。
  • NumPy, Matplotlib 等科学计算库。
• 硬件建议:
  • CPU: 通用运行。
  • GPU: 如需加速训练，请预先安装对应 CUDA 版本的 jaxlib。FBPINNs 利用 jax.vmap 并行化子域计算，在多卡或高性能 GPU 上收益明显。
  • Apple Silicon (M1/M2/M3): JAX 对 Apple GPU 支持处于实验阶段。若遇到 AVX 指令集错误，建议暂时使用 CPU 版本或从源码编译 JAX。

国内加速提示: 安装 Python 依赖时，推荐使用清华或阿里镜像源以提升下载速度。

export PIP_INDEX_URL=https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

安装步骤

推荐使用 conda 创建独立的虚拟环境以避免依赖冲突。

1. 创建并激活虚拟环境

   conda create -n fbpinns python=3.9
   conda activate fbpinns
   

2. 克隆项目代码

   git clone git@github.com:benmoseley/FBPINNs.git
   cd FBPINNs
   

3. 安装依赖包 在项目根目录下执行以下命令，将以“可编辑模式”安装 fbpinns 及其所有依赖（包括 JAX）。

   pip install -e .
   

   注：可编辑模式允许您修改源代码后立即生效，便于调试和二次开发。

4. 验证安装 (可选) 确保 JAX 能正确识别您的设备：

   import jax
   print(jax.devices())
   

基本使用

FBPINNs 的工作流分为六个核心步骤：定义域、定义问题（PDE）、定义区域分解、定义子域网络、配置超参数、启动训练。

以下是一个求解一维高频谐振子问题的最小完整示例：

import numpy as np

from fbpinns.domains import RectangularDomainND
from fbpinns.problems import HarmonicOscillator1D
from fbpinns.decompositions import RectangularDecompositionND
from fbpinns.networks import FCN
from fbpinns.constants import Constants
from fbpinns.trainers import FBPINNTrainer

# 1. 配置所有超参数
c = Constants(
    # 定义问题域：1D 区间 [0, 1]
    domain=RectangularDomainND,
    domain_init_kwargs=dict(
        xmin=np.array([0,]),
        xmax=np.array([1,]),
    ),
    # 定义 PDE 问题：一维谐振子
    problem=HarmonicOscillator1D,
    problem_init_kwargs=dict(
        d=2, w0=80, # d: 维度，w0: 频率参数
    ),
    # 定义区域分解：矩形分解
    decomposition=RectangularDecompositionND,
    decomposition_init_kwargs=dict(
        subdomain_xs=[np.linspace(0, 1, 15)], # 划分为 15 个重叠子域
        subdomain_ws=[0.15 * np.ones((15,))], # 子域宽度
        unnorm=(0., 1.), # 定义子域网络的反归一化范围
    ),
    # 定义子域内的神经网络结构：全连接网络 (FCN)
    network=FCN,
    network_init_kwargs=dict(
        layer_sizes=[1, 32, 1], # 输入层 1，隐藏层 32，输出层 1
    ),
    # 训练配置
    ns=((200,),),       # 每个子域使用的配点数量
    n_test=(500,),      # 测试点数量
    n_steps=20000,      # 训练步数
    optimiser_kwargs=dict(learning_rate=1e-3),
    show_figures=True,  # 训练过程中实时显示绘图
)

# 2. 实例化训练器并开始训练
run = FBPINNTrainer(c)
run.train()

运行结果说明：

• 脚本运行后，终端将实时输出损失函数统计信息。
• 若设置了 show_figures=True，将弹出窗口显示训练过程中的解曲线拟合情况。
• 训练日志和 TensorBoard 摘要默认保存在 results/summaries/ 目录。您可以使用以下命令查看可视化图表：

  tensorboard --logdir results/summaries/
  

对比传统 PINN： 若想用相同的配置训练一个标准的 PINN 进行对比，只需替换训练器类并调整网络大小：

from fbpinns.trainers import PINNTrainer

c["network_init_kwargs"] = dict(layer_sizes=[1, 64, 64, 1]) # PINN 通常需要更大的网络
run = PINNTrainer(c)
run.train()