Physics-Based-Deep-Learning

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Physics-Based-Deep-Learning 是一个专注于“物理驱动深度学习”领域的开源资源库，旨在汇集结合物理建模与深度神经网络的前沿算法。它主要解决了传统数值模拟计算成本高、速度慢，而纯数据驱动方法缺乏物理一致性这两大痛点，特别聚焦于流体动力学（如纳维 - 斯托克斯方程相关）的正向预测与逆向反演问题。

该资源库非常适合从事计算流体力学、科学计算及人工智能交叉领域的研究人员和开发者使用。其核心亮点在于系统性地梳理了不同层级的物理融合策略：从利用物理系统生成数据的“数据驱动”模式，到将物理规律编码为损失函数的约束优化，再到通过可微分模拟器实现物理求解与神经网络紧密耦合的“交错式”架构。这种对“可微分物理”的深度整合，使得模型不仅能高效推演复杂流体的时空演化，还能从观测数据中精准反推物理参数。此外，库中收录了慕尼黑工业大学（TUM）I15 实验室的多项标志性成果，如 diffSPH、PDE-Transformer 及 PICT 等，为探索高效、高精度的科学智能应用提供了宝贵的代码实现与理论参考。

使用场景

某新能源汽车公司的流体仿真团队正致力于优化电池包的风冷散热结构，需要在极短时间内评估数千种几何设计下的气流与温度分布。

没有 Physics-Based-Deep-Learning 时

计算耗时过长：依赖传统 CFD（计算流体力学）求解器进行单次瞬态模拟需数小时，无法支撑大规模设计空间的快速迭代。
反演设计困难：若要根据目标散热效果反推最佳管道参数，往往需要人工反复试错或运行昂贵的伴随算法，收敛极慢。
数据缺乏物理约束：纯数据驱动的代理模型在训练数据覆盖范围之外容易产生违反质量守恒或能量守恒的“幻觉”预测，导致工程误导。
耦合优化复杂：将深度学习模型与传统求解器结合时，因缺乏可微分接口，难以实现端到端的梯度下降优化。

使用 Physics-Based-Deep-Learning 后

实时正向预测：利用 PDE-Transformer 或 diffSPH 等可微分模拟器，将单次流场预测时间从小时级缩短至秒级，实现设计方案的即时反馈。
高效逆向生成：通过内置物理方程的损失项（Loss-terms），直接根据目标温度场反解出最优几何参数，大幅降低反演问题的求解门槛。
预测可信度高：借助物理信息神经网络（PINNs）机制，确保即使在少样本区域，模型输出的流速和压力场也严格遵循纳维 - 斯托克斯方程。
端到端联合优化：利用 PICT 等全可微分求解器，将神经网络输出直接嵌入仿真循环，通过梯度传播自动更新设计变量，实现智能化闭环设计。

Physics-Based-Deep-Learning 通过将物理定律深度融入学习过程，把原本昂贵的数值仿真变成了可微、快速且可靠的智能设计引擎。

运行环境要求

GPU

未说明（部分子项目如 PICT 提及 GPU 加速，但无具体型号或显存要求）

内存

未说明

依赖

notes该仓库主要是一个论文和项目链接的集合清单，而非单一的可直接运行的软件工具。因此 README 中未提供统一的运行环境需求。具体的环境配置需参考列表中各个子项目（如 diffSPH, PICT, Phiflow 等）的独立文档。文中提到部分方法需要可微分模拟器及 GPU 加速支持。

python未说明

PyTorch

TensorFlow

Jax

快速开始

基于物理的深度学习

以下资料集合面向 “基于物理的深度学习” (PBDL)，即结合物理建模与深度学习（DL）技术的方法领域。在此，DL 通常指基于人工神经网络的方法。PBDL 的总体方向是一个非常活跃且快速发展的研究领域。

如果您希望获得全面的概述，请查阅我们的数字版 PBDL 书籍：https://www.physicsbaseddeeplearning.org/（或 PDF 版本：https://arxiv.org/pdf/2109.05237.pdf）

基于物理的深度学习方法分类概览

在这一领域中，我们可以区分多种不同的基于物理的方法，从目标设计、约束条件、混合方法和优化算法到具体应用。更具体地说，所有方法要么针对正向模拟（预测状态或时间演化），要么针对反演问题（例如，从观测数据中获取物理系统的参数化描述）。

除了正向与反演之外，学习与物理之间的融合方式也为不同方法的分类提供了依据：

数据驱动：数据由物理系统（真实或仿真）生成，但两者之间不存在进一步的交互。
损失项：物理动力学（或其部分）被编码进损失函数中，通常以可微分运算的形式呈现。学习过程可以反复评估该损失，并通常会接收来自基于偏微分方程的公式的梯度。
交织式：完整的物理仿真与深度神经网络的输出交织并结合在一起；这要求仿真器完全可微分，也代表了物理系统与学习过程之间最紧密的耦合。交织式方法对于时间演化问题尤为重要，因为它们能够提供对动力学未来行为的估计。

因此，方法大致可以根据是正向求解还是反演求解，以及物理模型与训练深度神经网络的优化循环之间的耦合紧密程度来进行分类。其中，尤其是利用 可微物理 的方法，能够实现深度学习与数值模拟之间非常紧密的集成。

本仓库收集了关于 用于物理问题的深度学习算法 的相关文献链接，特别关注 流体流动，即与纳维-斯托克斯方程相关的课题。主要收录了慕尼黑工业大学 I15 实验室的工作成果，以及其他研究团队的相关工作。这绝非一份完整清单，因此如果您发现该领域的其他论文，请随时告知我们。我们有意聚焦于 深度学习 领域的研究，而非广义上的机器学习。

tempoGAN 的一个流场结果示例

I15 基于物理的深度学习相关链接

diffSPH：用于伴随优化与机器学习的可微平滑粒子流体动力学，项目：https://github.com/tum-pbs/diffSPH

PDE-Transformer：高效通用的用于物理仿真的 Transformer 模型，项目：https://tum-pbs.github.io/pde-transformer/landing.html

流匹配与偏微分方程——一种统一的物理约束生成框架， PDF：https://arxiv.org/abs/2506.08604

基于组件的机器学习用于室内气流与温度场预测：潜在特征聚合与气流相互作用， PDF：https://arxiv.org/abs/2507.19233

PICT：一款可微、GPU 加速的多块 PISO 求解器，适用于流体力学中的仿真耦合学习任务，项目：https://github.com/tum-pbs/PICT

使用扩散图网络学习复杂流体仿真中的分布，项目：https://github.com/tum-pbs/dgn4cfd

时序差分学习：为何它能快速运行以及如何使其更快， PDF：https://openreview.net/forum?id=j3bKnEidtT

截断就是全部所需：改进基于扩散模型的采样以用于基于物理的仿真， PDF：https://openreview.net/forum?id=0FbzC7B9xI

PRDP：渐进式精炼的可微物理，项目：https://github.com/tum-pbs/PRDP

时序差分学习：为何它能快速运行以及如何使其更快， PDF：https://openreview.net/forum?id=j3bKnEidtT

利用仿真反馈进行后验推断的流匹配， PDF：https://arxiv.org/pdf/2410.22573

APEBench：用于偏微分方程自回归神经网络模拟器的基准测试，项目：https://github.com/tum-pbs/apebench-paper

基于深度学习的翼型跨音速流动预测建模， PDF：https://arxiv.org/pdf/2403.17131

ConFIG：迈向无冲突的物理信息神经网络训练，项目：https://tum-pbs.github.io/ConFIG/

用神经网络解决反演问题的不合理有效性， PDF：http://arxiv.org/pdf/2408.08119

Phiflow：适用于 PyTorch、TensorFlow 和 Jax 的可微仿真库， PDF：https://openreview.net/pdf/36503358a4f388f00d587a0257c13ba2a4656098.pdf

时间展开如何支持神经物理仿真器， PDF：https://arxiv.org/pdf/2402.12971

稳定通过时间反向传播来学习复杂物理， PDF：https://openreview.net/forum?id=bozbTTWcaw

用于拉格朗日流体力学学习的对称基卷积， PDF：https://openreview.net/forum?id=HKgRwNhI9R

基于去噪扩散概率模型的不确定性感知代理模型用于翼型流场仿真，项目：https://github.com/tum-pbs/Diffusion-based-Flow-Prediction

使用自回归条件扩散模型进行湍流仿真，项目：https://github.com/tum-pbs/autoreg-pde-diffusion

保持物理特性的 AI 加速等离子体湍流仿真， PDF：https://arxiv.org/pdf/2309.16400

任意形状物体的非定常圆柱尾流——基于可微物理辅助的神经网络，项目：https://github.com/tum-pbs/DiffPhys-CylinderWakeFlow

通过可微物理进行得分匹配，项目：https://github.com/tum-pbs/SMDP

为基于粒子的流体动力学学习提供动量守恒保证，项目：https://github.com/tum-pbs/DMCF

利用可微流体求解器进行学习型湍流建模，项目：https://github.com/tum-pbs/differentiable-piso

用于物理深度学习的半反演梯度，项目：https://github.com/tum-pbs/half-inverse-gradients

复兴自编码器预训练（此前称为：通过赛车训练实现的数据驱动正则化，用于泛化神经网络），项目：https://github.com/tum-pbs/racecar

基于生成模型的真实星系图像及机器学习任务鲁棒性的提升， PDF：https://arxiv.org/pdf/2203.11956

用于反应流的混合神经网络偏微分方程求解器，项目：https://github.com/tum-pbs/Hybrid-Solver-for-Reactive-Flows

基于物理反演的尺度不变学习（原名“物理梯度”），项目： https://github.com/tum-pbs/SIP

利用深度神经网络实现高精度跨音速RANS流动预测，项目： https://github.com/tum-pbs/coord-trans-encoding

为流体学习有意义的控制方法，项目： https://rachelcmy.github.io/den2vel/

基于学习的自监督全局传输用于流体重建，项目： https://ge.in.tum.de/publications/2021-franz-globtrans

求解器闭环：从可微分物理中学习，以与迭代PDE求解器交互，项目： https://github.com/tum-pbs/Solver-in-the-Loop

利用深度学习代理对层流中最小阻力型线的数值研究， PDF： https://arxiv.org/pdf/2009.14339

纯数据驱动的中期天气预报在相似分辨率下达到与物理模型相当的准确度， PDF： https://arxiv.org/pdf/2008.08626

潜在空间细分：稳定且可控的流体流动时间预测，项目： https://ge.in.tum.de/publications/2020-lssubdiv-wiewel

WeatherBench：用于数据驱动天气预报的基准数据集，项目： https://github.com/pangeo-data/WeatherBench

用于数值模拟的相似性度量学习（LSiM），项目： https://ge.in.tum.de/publications/2020-lsim-kohl

利用可微分物理学习控制偏微分方程，项目： https://ge.in.tum.de/publications/2020-iclr-holl

基于连续卷积的拉格朗日流体模拟， PDF： https://openreview.net/forum?id=B1lDoJSYDH

Tranquil-Clouds：用于学习点云中时间一致特征的神经网络，项目： https://ge.in.tum.de/publications/2020-iclr-prantl/

ScalarFlow：面向计算机图形和机器学习的真实标量输运流动大规模体积数据集，项目： https://ge.in.tum.de/publications/2019-tog-eckert/

tempoGAN：用于超分辨率流体流动的时间一致体积生成对抗网络，项目： https://ge.in.tum.de/publications/tempogan/

Deep Fluids：用于参数化流体模拟的生成网络，项目： http://www.byungsoo.me/project/deep-fluids/

潜在空间物理：迈向学习流体流动的时间演化，项目： https://ge.in.tum.de/publications/latent-space-physics/

用于流体流动超分辨率的多通道生成对抗网络， PDF： https://ge.in.tum.de/publications/2019-multi-pass-gan/

雷诺平均Navier-Stokes模拟中深度学习方法的研究，项目： https://github.com/thunil/Deep-Flow-Prediction

基于CNN特征描述符的数据驱动烟流合成，项目： http://ge.in.tum.de/publications/2017-sig-chu/

利用神经网络建模液体飞溅，项目： https://ge.in.tum.de/publications/2018-mlflip-um/

利用变形感知神经网络生成液体模拟，项目： https://ge.in.tum.de/publications/2017-prantl-defonn/

流体相关附加链接

先离散化，再滤波：学习大涡模拟中散度一致的闭合模型， PDF： https://doi.org/10.1016/j.jcp.2024.113577

通过SciML基础模型进行数据高效的神经流场推断， PDF： https://arxiv.org/abs/2412.13897

DeepLag：发现深层拉格朗日动力学以实现直观的流体预测， PDF： https://arxiv.org/pdf/2402.02425

从视频中推断混合神经流场， PDF： https://openreview.net/pdf?id=kRdaTkaBwC

LagrangeBench：拉格朗日流体力学基准测试套件，项目： https://github.com/tumaer/lagrangebench

CFDBench：流体力学中机器学习方法的综合基准， PDF： https://arxiv.org/pdf/2310.05963.pdf

通过物理引导训练生成对抗网络以提高翼型设计合成的准确性， PDF： https://arxiv.org/pdf/2308.10038

一种概率性的、数据驱动的RANS模拟闭合模型，包含随机性和模型不确定性， PDF： https://arxiv.org/pdf/2307.02432

可微扰动湍流， PDF： https://arxiv.org/pdf/2307.03683

超分辨率稀疏观测的偏微分方程：一种受物理约束的卷积神经网络方法， PDF： https://arxiv.org/pdf/2306.10990

利用变压器进行流体流动的降阶建模， PDF： https://pubs.aip.org/aip/pof/article/35/5/057126/2891586

基于稀疏压力传感器输入的机器学习增强实时气动力预测， PDF： https://arxiv.org/pdf/2305.09199

利用物理感知的时空动力学和测试时精炼重构湍流流动， PDF： https://arxiv.org/pdf/2304.12130

通过逆向渲染推断流体力学， PDF： https://arxiv.org/pdf/2304.04446

用于非定常欧拉流体力学的多尺度旋转等变图神经网络， WWW： https://aip.scitation.org/doi/10.1063/5.0097679

AirfRANS：用于近似雷诺平均Navier-Stokes解的高保真计算流体动力学数据集， PDF： https://arxiv.org/pdf/2212.07564

探索深度学习中的物理潜在空间， PDF： https://arxiv.org/pdf/2211.11298

利用卷积自编码器回声状态网络建模时空湍流动力学， PDF： https://arxiv.org/pdf/2211.11379

结合时空降阶模型与3D深度卷积外推流体力学， PDF： https://arxiv.org/pdf/2211.00307

NeuroFluid：基于粒子驱动的神经辐射场的流体力学基础，项目： https://github.com/syguan96/NeuroFluid

通过物理信息机器学习进行拉格朗日大涡模拟， PDF： https://arxiv.org/pdf/2207.04012

学习利用物理动力学估计和精炼流体运动， PDF： https://arxiv.org/pdf/2206.10480.pdf

用于大涡模拟中湍流建模的深度强化学习， PDF： https://arxiv.org/pdf/2206.11038

嵌入物理的神经网络：具有混合边界条件的图神经PDE求解器， PDF： https://arxiv.org/pdf/2205.11912

用于稀疏数据下烟雾重建的物理信息神经场，项目： https://rachelcmy.github.io/pinf_smoke/

利用贝叶斯神经网络的随机预测进行流体模拟， PDF： https://arxiv.org/pdf/2205.01222

NeuroFluid：基于粒子驱动的神经辐射场的流体力学基础， PDF： https://arxiv.org/pdf/2203.01762.pdf

深度神经网络用于修正CFD中的次精度误差， PDF： https://arxiv.org/pdf/2202.04233

利用共形映射从稀疏传感器数据中重建任意二维物体周围的流体流动， PDF： https://arxiv.org/pdf/2202.03798.pdf

利用时间注意力在网格缩减空间中预测物理规律， PDF： https://arxiv.org/pdf/2201.09113.pdf

通过机器学习推断湍流参数， PDF： https://arxiv.org/pdf/2201.00732

用于高效湍流模拟的可学习粗粒度模型， PDF：https://arxiv.org/pdf/2112.15275.pdf

中等雷诺数下自由振动球体稳定性分析的深度学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/2112.09858.pdf

时空高分辨率湍流细节的预测， PDF：http://geometry.caltech.edu/pubs/BWDL21.pdf

基于高斯随机权重平均法评估流体流动回归中的模型形式不确定性， PDF：https://arxiv.org/pdf/2109.08248.pdf

利用物理引导神经网络重建高分辨率湍流场， PDF：https://arxiv.org/pdf/2109.03327

迈向从湍流中提取正交且简洁的非线性模态， PDF：https://arxiv.org/pdf/2109.01514.pdf

SURFNet：基于迁移学习的小数据集湍流超分辨率， PDF：https://arxiv.org/pdf/2108.07667.pdf

用于流体模拟降阶建模及高效时间演化的深度学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/2107.04556.pdf

从零开始学习不可压缩流体动力学——迈向快速、可微且具有泛化能力的流体模型， PDF：https://cg.cs.uni-bonn.de/aigaion2root/attachments/Paper.pdf

面向湍流壁面模型的科学多智能体强化学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/2106.11144.pdf

使用多尺度图神经网络模拟连续介质力学， PDF：https://arxiv.org/pdf/2106.04900.pdf

神经网络亚格子尺度湍流模型的嵌入式训练， PDF：https://arxiv.org/pdf/2105.01030.pdf

利用强化学习对时变湍流中的点到点导航进行最优控制， PDF：https://arxiv.org/pdf/2103.00329.pdf

机器学习加速的计算流体力学， PDF：https://arxiv.org/pdf/2102.01010.pdf

神经粒子图像测速法， PDF：https://arxiv.org/pdf/2101.11950.pdf

用于雷诺平均纳维-斯托克斯模拟的湍流涡黏性代理建模框架，项目+代码：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0045793020303479

无需高分辨率标签，利用物理信息卷积神经网络对流场进行超分辨率和去噪处理， PDF：https://arxiv.org/pdf/2011.02364.pdf

用于不规则几何体上流场预测的点云深度学习框架， PDF：https://arxiv.org/pdf/2010.09469

使用图网络学习基于网格的模拟， PDF：https://arxiv.org/pdf/2010.03409

利用机器学习增强粗网格计算流体力学模拟， PDF：https://arxiv.org/pdf/2010.00072

在势流中学习游泳， PDF：https://arxiv.org/pdf/2009.14280

用于纳维-斯托克斯方程的神经网络多重网格求解器， PDF：https://arxiv.org/pdf/2008.11520.pdf

利用深度神经网络和高斯过程提升气动设计优化的数据效率， PDF：https://arxiv.org/pdf/2008.06731

用于二维湍流中被动标量输运的可学习离散化方法， PDF：https://arxiv.org/pdf/2004.05477

PhyGeoNet：用于在不规则域上求解参数化稳态偏微分方程的物理信息几何自适应卷积神经网络， PDF：https://arxiv.org/pdf/2004.13145

将可微偏微分方程求解器与图神经网络结合用于流体流动预测， PDF：https://proceedings.icml.cc/static/paper_files/icml/2020/6414-Paper.pdf

CFDNet：基于深度学习的流体模拟加速器， PDF：https://arxiv.org/pdf/2005.04485

神经粒子法——一种更新的拉格朗日型物理信息神经网络，用于计算流体力学， PDF：https://arxiv.org/pdf/2003.10208

通过强化学习控制瑞利-贝纳德对流， PDF：https://arxiv.org/pdf/2003.14358

在三维湍流的神经网络粗粒化中嵌入硬性物理约束， PDF：https://arxiv.org/pdf/2002.00021

使用图网络学习模拟复杂物理现象， PDF：https://arxiv.org/pdf/2002.09405

DPM：一种深度学习偏微分方程增广方法（应用于大涡模拟）， PDF：https://arxiv.org/pdf/1911.09145

迈向用于湍流预测的物理信息深度学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/1911.08655

通过字典学习对烟雾进行动态上采样， PDF：https://arxiv.org/pdf/1910.09166

用于生成不同雷诺数来流的湍流深度无监督学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/1908.10515

DeepFlow：在深度生成模型空间中进行历史匹配， PDF：https://arxiv.org/pdf/1905.05749

计算流体力学中的深度学习可观测量， PDF：https://arxiv.org/pdf/1903.03040

压缩卷积LSTM：一种高效的深度学习框架，用于模拟高保真三维湍流， PDF：https://arxiv.org/pdf/1903.00033

在无标注数据的情况下，用于高维代理建模和不确定性量化中的物理约束深度学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/1901.06314.pdf

用于数据驱动的大涡模拟闭合模型的深度神经网络， PDF：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999119306151

从体积分数计算界面曲率：一种机器学习方法， PDF：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0045793019302282

机器学习流体中球形颗粒的运动学， PDF：https://sandlab.mit.edu/wp-content/uploads/18_JFM.pdf

用于数据驱动湍流模型的深度神经网络， PDF：https://export.arxiv.org/pdf/1806.04482

非定常流体流动的深度动力学建模与控制， PDF：http://papers.nips.cc/paper/8138-deep-dynamical-modeling-and-control-of-unsteady-fluid-flows

学习粒子动力学以操控刚体、变形物体和流体，项目+代码：http://dpi.csail.mit.edu

卷积神经网络在翼型升力系数预测中的应用， PDF：https://arxiv.org/pdf/1712.10082

利用深度学习预测圆柱绕流中的层流涡脱落， PDF：https://arxiv.org/pdf/1712.07854

Lat-Net：利用深度神经网络压缩格子玻尔兹曼流体模拟， PDF：https://arxiv.org/pdf/1705.09036

通过闭环仿真推理液体行为， PDF：https://arxiv.org/pdf/1703.01656

基于圆柱表面压力融合卷积神经网络，预测不同雷诺数下圆柱周围速度场的模型， PDF：https://doi.org/10.1063/1.5024595

利用卷积网络加速欧拉流体模拟，项目+代码：https://cims.nyu.edu/~schlacht/CNNFluids.htm

利用嵌入不变性的深度神经网络进行雷诺平均湍流建模， PDF：https://www.labxing.com/files/lab_publications/2259-1524535041-QiPuSd6O.pdf

通用偏微分方程章节的图片分隔线

通用偏微分方程相关附加链接

跨偏微分方程与机器学习鸿沟的可微编程， PDF：https://arxiv.org/abs/2409.06085

混沌系统的零样本预测， PDF：https://arxiv.org/pdf/2409.15771

用于预测复杂系统动力学的生成式学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/2402.17157

多尺度建模中的微观-宏观一致性：基于分数模型辅助采样的快慢动力系统， PDF：https://arxiv.org/pdf/2312.05715

面向偏微分方程的机器学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/2303.17078.pdf

通过潜在全局演化加速求解偏微分方程的学习，项目：http://snap.stanford.edu/le_pde/

用于时变偏微分方程的隐式神经空间表示， PDF：https://proceedings.mlr.press/v202/chen23af/chen23af.pdf

噪声感知型物理信息驱动的机器学习用于鲁棒的偏微分方程发现， PDF：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-2153/acb1f0/pdf

从预测中学习：融合训练与自回归推理以实现长期时空预测， PDF：https://arxiv.org/pdf/2302.11101.pdf

平稳演化，一致拟合：学习平滑的潜在动力学以应对对流主导系统， PDF：https://arxiv.org/pdf/2301.10391

利用隐式神经表示进行连续偏微分方程动力学预测， PDF：https://arxiv.org/pdf/2209.14855

基于物理信息准则从高度噪声和稀疏数据中发现偏微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/2208.03322

通过编码物理知识的学习方法从稀缺数据中发现非线性偏微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/2201.12354.pdf

CROM：使用隐式神经表示的偏微分方程连续降阶建模， PDF：https://arxiv.org/pdf/2206.02607.pdf

利用图网络学习求解偏微分方程约束的反问题，项目：https://cyanzhao42.github.io/LearnInverseProblem

CAN-PINN：一种基于耦合自动数值微分法的快速物理信息神经网络， PDF：https://arxiv.org/pdf/2110.15832

利用深度学习进行物理感知下采样以实现可扩展的洪水建模， PDF：https://arxiv.org/pdf/2106.07218v1.pdf

从数据和物理中学习函数先验与后验分布， PDF：https://arxiv.org/pdf/2106.05863.pdf

利用模型降阶加速神经ODE， PDF：https://arxiv.org/pdf/2105.14070

对抗式多任务学习增强的物理信息神经网络用于求解偏微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/2104.14320

gradSim：用于系统辨识和视觉运动控制的可微仿真，项目：https://gradsim.github.io

具有保证稳定性的物理感知概率型模型降阶， PDF：https://arxiv.org/pdf/2101.05834

通过泊松神经网络学习泊松系统及自治系统的轨迹， PDF：https://arxiv.org/pdf/2012.03133.pdf

Aphynity：用深度网络增强物理模型以预测复杂动力学， PDF：https://arxiv.org/pdf/2010.04456.pdf

多尺度微分方程时间步进器的层次化深度学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/2008.09768

学习组合式库普曼算子用于基于模型的控制，项目：http://koopman.csail.mit.edu

面向科学机器学习的通用微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/2001.04385.pdf

理解并缓解物理信息神经网络中的梯度病理现象， PDF：https://arxiv.org/pdf/2001.04536

用于求解偏微分方程的变分物理信息神经网络， PDF：https://arxiv.org/pdf/1912.00873

泊松CNN：用于在不同网格和狄利克雷边界条件下求解泊松方程的卷积神经网络， PDF：https://arxiv.org/pdf/1910.08613

IDENT：利用数值时间演化识别微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/1904.03538

PDE-Net 2.0：使用数符混合深度网络从数据中学习偏微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/1812.04426

数据驱动的离散化：一种系统性地粗粒化偏微分方程的方法， PDF：https://arxiv.org/pdf/1808.04930

利用深度学习求解高维偏微分方程， PDF：https://www.pnas.org/content/115/34/8505.full.pdf

神经常微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/1806.07366

深度学习输运现象的物理机制， PDF：https://arxiv.org/pdf/1709.02432

DGM：一种用于求解偏微分方程的深度学习算法， PDF：https://arxiv.org/pdf/1708.07469

隐藏物理模型：非线性偏微分方程的机器学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/1708.00588

数据辅助的复杂动力系统极端事件降阶建模，项目+代码：https://github.com/zhong1wan/data-assisted

PDE-Net：从数据中学习偏微分方程，项目+代码：https://github.com/ZichaoLong/PDE-Net

学习非线性动力系统库普曼算子的深度神经网络表示， PDF：https://arxiv.org/pdf/1708.06850

基于神经网络的近似方法用于求解偏微分方程， DOI：https://doi.org/10.1002/cnm.1640100303

其他物理问题及物理相关问题的附加链接

迈向物理基础模型， PDF：https://arxiv.org/abs/2509.13805

FunDiff：面向物理信息生成建模的函数空间扩散模型， PDF：https://arxiv.org/pdf/2506.07902

CALM-PDE：用于时变偏微分方程潜在空间建模的连续自适应卷积， PDF：https://arxiv.org/abs/2505.12944

通过可微求解器进行时变偏微分方程的物理信息降阶建模， PDF：https://arxiv.org/abs/2505.14595

学习用于参数化偏微分方程的神经求解器以增强物理信息方法，项目：https://github.com/2ailesB/neural-parametric-solver

用于时空动力学的隐式神经微分模型， PDF：https://arxiv.org/abs/2504.02260

一种用于预测和科学文本描述的多模态偏微分方程基础模型， PDF：https://www.arxiv.org/abs/2502.06026

PINN-FEM：一种在物理信息神经网络中强制施加狄利克雷边界条件的混合方法， PDF：https://arxiv.org/abs/2501.07765

HypeRL：面向参数化偏微分方程的参数感知强化学习， PDF：https://arxiv.org/abs/2501.04538

通过潜在空间表示提升物理信息神经网络的泛化能力， PDF：https://arxiv.org/pdf/2411.19125

Text2PDE：用于便捷物理模拟的潜在扩散模型， PDF：https://arxiv.org/abs/2410.01137

神经网络PDE求解器的主动学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/2408.01536

嵌入物理信息的傅里叶神经网络用于偏微分方程， PDF：https://arxiv.org/pdf/2407.11158

通过非侵入式梯度基元求解加速传统数值求解器， PDF：https://arxiv.org/pdf/2405.02952

向量化条件神经场：求解时变参数化偏微分方程的框架，项目：https://jhagnberger.github.io/vectorized-conditional-neural-field/

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面向多尺度、参数化PDE且适用于非均质介质的物理感知隐式神经网络求解器， PDF：https://arxiv.org/pdf/2405.19019

通用物理变换器：高效扩展神经算子的框架， PDF：https://arxiv.org/html/2402.12365

混合建模设计模式， PDF：https://arxiv.org/pdf/2401.00033

ClimODE：基于物理信息神经ODE的气候预测， PDF：https://openreview.net/pdf?id=xuY33XhEGR

预训练共域注意力神经算子以求解多物理场PDE， PDF：https://arxiv.org/pdf/2403.12553

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基于注意力神经网络的高可再生能源电力系统最优潮流， PDF：https://arxiv.org/pdf/2311.13949

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基于约束的图网络仿真器， PDF：https://arxiv.org/pdf/2112.09161

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Deluca——一个可微控制库：环境、方法与基准测试， PDF：https://montrealrobotics.ca/diffcvgp/assets/papers/1.pdf

离散时间物理的深度能量模型， PDF：https://proceedings.neurips.cc/paper/2020/file/98b418276d571e623651fc1d471c7811-Paper.pdf

NeuralSim：用神经网络增强可微仿真器， PDF：https://arxiv.org/pdf/2011.04217.pdf

用于参数化偏微分方程的傅里叶神经算子， PDF：https://arxiv.org/pdf/2010.08895.pdf

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无需标注数据的高维代理建模与不确定性量化中的物理约束深度学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/1901.06314

COPHY：物理动力学的反事实学习，项目：https://github.com/fabienbaradel/cophy

利用粗粒度概率性物体表示建模直觉物理中的期望违背，项目：http://physadept.csail.mit.edu

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用于降维变形体仿真的潜在空间动力学，项目+代码：http://www.dgp.toronto.edu/projects/latent-space-dynamics/

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DeepWarp：基于深度神经网络的非线性变形， PDF：https://arxiv.org/pdf/1803.09109

关于通过动力系统进行机器学习的提案，期刊：https://link.springer.com/article/10.1007/s40304-017-0103-z

用于学习物体、关系及物理的交互网络， PDF：https://arxiv.org/pdf/1612.00222

综述与概述文章

动力系统中的物理引导深度学习：综述， PDF：https://arxiv.org/pdf/2107.01272

将基于物理的建模与机器学习相结合：综述， PDF：https://arxiv.org/pdf/2003.04919

将机器学习与基于物理的建模相结合， PDF：https://arxiv.org/pdf/2006.02619

关于流体力学中深度强化学习的综述， PDF：https://arxiv.org/pdf/1908.04127

流体力学中的机器学习， PDF：https://arxiv.org/pdf/1905.11075

仿真与深度学习框架

PhiFlow：https://github.com/tum-pbs/phiflow

Diff-Taichi：https://github.com/yuanming-hu/difftaichi

Jax-Md：https://github.com/google/jax-md

TensorFlow-Foam：https://github.com/argonne-lcf/TensorFlowFoam

Julia-Sciml：https://sciml.ai

GradSim：https://gradsim.github.io

Jax-Cfd：https://github.com/google/jax-cfd

Jax-Fluids：https://github.com/tumaer/JAXFLUIDS

结语

基于物理的深度学习是一个非常活跃的领域。如果您认为我们遗漏了应该收录的论文，请发送邮件至 i15ge at cs.tum.de 告知我们，并欢迎访问我们的主页 https://ge.in.tum.de/。

Physics-Based Deep Learning 快速上手指南

Physics-Based Deep Learning (PBDL) 是一个结合物理建模与深度学习（特别是神经网络）的前沿领域。本仓库主要汇集了针对流体流动（如 Navier-Stokes 方程相关）问题的深度学习算法资源，重点收录了德国慕尼黑工业大学 (TUM) I15 实验室及社区的相关工作。

由于本仓库是一个资源索引集合而非单一的 Python 包，以下指南将指导你如何获取核心工具库、配置环境并运行典型的示例项目。

环境准备

在开始之前，请确保你的系统满足以下要求，以支持基于物理的可微分模拟和深度学习训练。

操作系统: Linux (推荐 Ubuntu 20.04+) 或 macOS。Windows 用户建议使用 WSL2。
硬件: 强烈建议配备 NVIDIA GPU (支持 CUDA)，因为大多数物理模拟和深度学习任务需要 GPU 加速。
前置依赖:
- Python 3.8 - 3.10
- Git
- CUDA Toolkit (版本需与 PyTorch/TensorFlow 匹配，通常推荐 11.3 或 12.x)
- C++ 编译器 (g++)

安装步骤

由于该仓库包含多个独立项目，最通用的入门方式是克隆仓库并安装其核心依赖库（如 phiflow 或其他通用科学计算库）。以下以配置通用深度学习环境和获取核心代码为例。

1. 克隆仓库

首先获取资源列表和相关代码示例：

git clone https://github.com/tum-pbs/Physics-Based-Deep-Learning.git
cd Physics-Based-Deep-Learning

2. 创建虚拟环境

推荐使用 conda 或 venv 隔离环境：

# 使用 conda (推荐)
conda create -n pbdl python=3.9
conda activate pbdl

# 或者使用 venv
python -m venv pbdl_env
source pbdl_env/bin/activate  # Windows: pbdl_env\Scripts\activate

3. 安装深度学习框架

根据你要运行的具体项目选择 PyTorch 或 TensorFlow。以下是安装 PyTorch (CUDA 版) 的通用命令：

# 访问 pytorch.org 获取最新命令，以下为示例 (CUDA 11.8)
pip install torch torchvision torchaudio --index-url https://download.pytorch.org/whl/cu118

国内加速提示: 如果下载速度慢，可使用清华源或阿里源：
pip install torch torchvision torchaudio --index-url https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

4. 安装特定项目依赖

本仓库中的每个子项目（如 diffSPH, PICT, tempoGAN 等）都有独立的 requirements.txt。请以 diffSPH 为例进行安装：

# 进入具体项目目录 (需要先单独克隆该项目，或在主项目中查找链接)
# 这里演示如何安装通用的物理模拟辅助库 phiflow (如果在具体项目中引用)
pip install phiflow

注意：若要运行具体论文代码，请前往 README 中列出的对应项目链接（如 <https://github.com/tum-pbs/diffSPH>），单独克隆该项目并运行其内部的 pip install -r requirements.txt。

基本使用

由于这是一个方法论集合，"使用"通常指运行某个具体算法的演示脚本。以下以典型的流体模拟预测或可微分物理求解为例，展示基本使用流程。

假设你已克隆了其中一个具体项目（例如 diffSPH 或 PICT），基本使用步骤如下：

1. 验证安装

运行一个简单的测试脚本以确保物理后端和神经网络接口正常：

# 在项目根目录下运行测试 (具体文件名视项目而定，通常为 test.py 或 demo.py)
python demo.py --config configs/example.yaml

2. 运行前向模拟 (Forward Simulation)

使用预训练模型或随机初始化参数进行物理状态预测：

# 示例：运行流体演化预测
python run_simulation.py \
    --model checkpoint/best_model.pth \
    --input data/initial_condition.npy \
    --steps 100 \
    --output results/prediction

3. 训练与反演 (Training / Inverse Problems)

利用可微分物理特性进行损失函数优化（这是 PBDL 的核心）：

# 示例：基于物理约束的损失函数进行训练
python train.py \
    --data-dir data/training_set \
    --physics-model navier_stokes \
    --loss-type pde_residual \
    --epochs 50 \
    --batch-size 8

4. 可视化结果

大多数项目会输出 .vtk, .npz 或图像序列。使用提供的可视化工具或 Paraview 查看：

# 部分项目内置可视化脚本
python visualize_results.py --input results/prediction --format gif

提示: 对于具体的数学公式推导、不同集成策略（Data-driven, Loss-terms, Interleaved）的详细理论，请参阅官方数字书籍：Physics-Based Deep Learning Book。

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