[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"tool-prateekbhustali--Physics-Informed-Neural-Networks":3,"similar-prateekbhustali--Physics-Informed-Neural-Networks":65},{"id":4,"github_repo":5,"name":6,"description_en":7,"description_zh":8,"ai_summary_zh":8,"readme_en":9,"readme_zh":10,"quickstart_zh":11,"use_case_zh":12,"hero_image_url":13,"owner_login":14,"owner_name":15,"owner_avatar_url":16,"owner_bio":17,"owner_company":18,"owner_location":19,"owner_email":20,"owner_twitter":20,"owner_website":20,"owner_url":21,"languages":22,"stars":35,"forks":36,"last_commit_at":37,"license":38,"difficulty_score":39,"env_os":40,"env_gpu":41,"env_ram":40,"env_deps":42,"category_tags":54,"github_topics":57,"view_count":39,"oss_zip_url":20,"oss_zip_packed_at":20,"status":60,"created_at":61,"updated_at":62,"faqs":63,"releases":64},9448,"prateekbhustali\u002FPhysics-Informed-Neural-Networks","Physics-Informed-Neural-Networks","Investigating PINNs","Physics-Informed-Neural-Networks 是一个专注于研究物理信息神经网络（PINNs）的开源项目，旨在利用深度学习求解复杂的偏微分方程（PDE）。传统数值方法在处理高维或反问题时往往计算昂贵，而 PINNs 创新性地将物理定律（即控制方程）和边界条件直接嵌入神经网络的损失函数中，通过在定义域内采样“配点”来最小化物理残差，从而让模型在训练过程中自动遵循物理规律。\n\n该项目提供了基于 TensorFlow 2 和 PyTorch 的完整实现代码，涵盖 Burgers 方程和 Helmholtz 方程等经典案例，非常适合科研人员、算法工程师以及对科学计算感兴趣的开发者使用。其独特技术亮点在于深入探讨了针对刚性方程的优化策略，发现 L-BFGS 优化器能有效缓解梯度不平衡问题；同时验证了 PINNs 具备“自底向上”的学习特性，并证实迁移学习相比随机初始化能帮助用户找到更优的局部极小值，显著提升求解精度。无论是希望复现前沿论文成果，还是试图将物理约束引入 AI 模型的研究者，都能从中获得宝贵的参考实现与实验洞察。","# Physics-Informed-Neural-Networks (PINNs)\n\nPINNs were proposed by Raissi et al. in [1] to solve PDEs by incorporating the physics (i.e the PDE) and the boundary conditions in the loss function. The loss is the Mean-Squared Error of the PDE and boundary residual measured on 'collocation points' distributed across the domain. \n\nPINNs are summarised in the following schematic:\n\n\u003Cp align=\"center\">\n\u003Cimg src=\"https:\u002F\u002Foss.gittoolsai.com\u002Fimages\u002Fprateekbhustali_Physics-Informed-Neural-Networks_readme_8516d0e4087e.png\" width=\"600\">\n\u003C\u002Fp>\n\nThis repository currently contains implementation of PINNs in TensorFlow 2 and PyTorch for the Burgers' and Helmholtz PDE.\n\nCurrently working to incorporate SIREN (paper from NeurIPS 2020).\n\n# Installation\n\n### TensorFlow \n\n```javascript\npip install numpy==1.19.2 scipy==1.5.3 tensorflow==2.0.0 matplotlib==3.3.2 pydoe==0.3.8 seaborn==0.9.0\n```\n\n### PyTorch \n\n```javascript\npip install numpy==1.19.2 scipy==1.5.3 matplotlib==3.3.2 pydoe==0.3.8 torch==1.7.1+cu92 torchvision==0.8.2+cu92 torchaudio==0.7.2 -f https:\u002F\u002Fdownload.pytorch.org\u002Fwhl\u002Ftorch_stable.html\n```\nFor GPU installations, check for compatible PyTorch versions on the [official website](https:\u002F\u002Fpytorch.org\u002Fget-started\u002Flocally\u002F).   \n\n**NOTE**: Newer versions of seaborn do not support sns.distplot and can problematic when ploting gradient histograms\n\n# Work Summary\n\n1. Solving stiff PDEs with the L-BFGS optimizer\n\nPINNs are studied with the L-BFGS optimizer and compared with the Adam optimizer to observe the gradient imbalance reported in [2]  for stiff PDEs. It was observed that the gradient imbalance is not as stark with the L-BFGS optimizer when solving stiff PDEs. However, the convergence of PINNs is still slow due to the ill-conditioning of the optimization landscape. \n\n2. Bottom Up learning in PINNs\n\nIt was reported in [3] that PINNs tend to learn all spectral frequencies of the solution simalteneously due to the presence of derivatives in the loss function. In order to understand if there are any other changes in the learning mechanics of PINNs, bottom-up learning was reinvestigated. Bottom-up learing implies that the lower layers, i.e layers close to the input, converge faster than the upper layers, i.e layers closer to the output. A heuristic proof of bottom-up learning was given in [4], the same methodology is followed here while training the PINN to solve the Burgers' PDE.  No changes in this mechanism was observed and it was confirmed that PINNs also learn bottom-up. A video of this observation can be found here (https:\u002F\u002Fyoutu.be\u002FLmaSPoBVOrA). \n\n3. Transfer Learning in PINNs\n\nThe effect of transfer learning in PINNs was studied to understand its effects on solution error. The general observation was that transfer learning helps us find better local minima when compared to a random Xavier initialization. \n\n# Bibliography\n\n[1] Maziar Raissi, Paris Perdikaris, and George Em Karniadakis. Physics Informed Deep Learning (Part I): Data-driven Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations. http:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fpdf\u002F1711.10561v1\n\n[2] Sifan Wang, Yujun Teng, Paris Perdikaris. UNDERSTANDING AND MITIGATING GRADIENT PATHOLOGIES IN PHYSICS-INFORMED NEURAL NETWORKS. 2020. https:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fpdf\u002F2001.04536.pdf.\n\n[3] Lu Lu et al. DeepXDE: A deep learning library for solving differential equations.2019. https:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fabs\u002F1907.04502\n\n[4] Maithra Raghu et al. SVCCA: Singular Vector Canonical Correlation Analysis for Deep Learning Dynamics and Interpretability. http:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fpdf\u002F1706.05806v2\n\n[5] Levi McClenny and Ulisses Braga-Neto. Self-Adaptive Physics-Informed Neural Networks using a Soft Attention Mechanism. 2020. https:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fabs\u002F2009.04544\n","# 物理信息神经网络（PINNs）\n\nPINNs 由 Raissi 等人在 [1] 中提出，通过将物理规律（即偏微分方程）和边界条件融入损失函数来求解偏微分方程。该损失函数是基于定义在求解域内“配点”上的 PDE 残差和边界残差的均方误差。\n\nPINNs 的示意图如下：\n\n\u003Cp align=\"center\">\n\u003Cimg src=\"https:\u002F\u002Foss.gittoolsai.com\u002Fimages\u002Fprateekbhustali_Physics-Informed-Neural-Networks_readme_8516d0e4087e.png\" width=\"600\">\n\u003C\u002Fp>\n\n目前，本仓库包含了使用 TensorFlow 2 和 PyTorch 实现的 Burgers 方程与 Helmholtz 方程的 PINNs。\n\n我们目前正在研究如何集成 SIREN（发表于 NeurIPS 2020 的论文）。\n\n# 安装\n\n### TensorFlow \n\n```javascript\npip install numpy==1.19.2 scipy==1.5.3 tensorflow==2.0.0 matplotlib==3.3.2 pydoe==0.3.8 seaborn==0.9.0\n```\n\n### PyTorch \n\n```javascript\npip install numpy==1.19.2 scipy==1.5.3 matplotlib==3.3.2 pydoe==0.3.8 torch==1.7.1+cu92 torchvision==0.8.2+cu92 torchaudio==0.7.2 -f https:\u002F\u002Fdownload.pytorch.org\u002Fwhl\u002Ftorch_stable.html\n```\n对于 GPU 安装，请在 [官方网站](https:\u002F\u002Fpytorch.org\u002Fget-started\u002Flocally\u002F) 上确认兼容的 PyTorch 版本。\n\n**注意**：较新版本的 seaborn 不再支持 sns.distplot，在绘制梯度直方图时可能会出现问题。\n\n# 工作总结\n\n1. 使用 L-BFGS 优化器求解刚性偏微分方程\n\n我们使用 L-BFGS 优化器对 PINNs 进行了研究，并将其与 Adam 优化器进行了对比，以观察 [2] 中报道的关于刚性偏微分方程的梯度不平衡现象。结果表明，在使用 L-BFGS 优化器求解刚性偏微分方程时，梯度不平衡问题并不像使用 Adam 优化器时那样明显。然而，由于优化景观的病态特性，PINNs 的收敛速度仍然较慢。\n\n2. PINNs 中的自下而上学习\n\n文献 [3] 报道称，由于损失函数中包含导数项，PINNs 倾向于同时学习解的所有频谱频率。为了探究 PINNs 学习机制是否存在其他变化，我们重新研究了自下而上学习现象。所谓自下而上学习，是指靠近输入层的低层比靠近输出层的高层更快地收敛。文献 [4] 给出了自下而上学习的一个启发式证明，我们在训练 PINN 求解 Burgers 方程时也采用了相同的方法。实验未观察到该机制的变化，从而证实 PINNs 同样遵循自下而上学习的规律。相关视频可在此处观看（https:\u002F\u002Fyoutu.be\u002FLmaSPoBVOrA）。\n\n3. PINNs 中的迁移学习\n\n我们研究了迁移学习对 PINNs 的影响，以了解其对解的误差有何作用。总体观察表明，与随机的 Xavier 初始化相比，迁移学习有助于找到更好的局部极小值。\n\n# 参考文献\n\n[1] Maziar Raissi, Paris Perdikaris, and George Em Karniadakis. 物理信息深度学习（第一部分）：非线性偏微分方程的数据驱动解法。http:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fpdf\u002F1711.10561v1\n\n[2] Sifan Wang, Yujun Teng, Paris Perdikaris. 理解并缓解物理信息神经网络中的梯度病理现象。2020 年。https:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fpdf\u002F2001.04536.pdf。\n\n[3] Lu Lu 等人。DeepXDE：用于求解微分方程的深度学习库。2019 年。https:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fabs\u002F1907.04502\n\n[4] Maithra Raghu 等人。SVCCA：用于深度学习动态性和可解释性的奇异向量典型相关分析。http:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fpdf\u002F1706.05806v2\n\n[5] Levi McClenny 和 Ulisses Braga-Neto. 基于软注意力机制的自适应物理信息神经网络。2020 年。https:\u002F\u002Farxiv.org\u002Fabs\u002F2009.04544","# Physics-Informed-Neural-Networks (PINNs) 快速上手指南\n\n本指南帮助开发者快速部署并使用基于 TensorFlow 2 和 PyTorch 的 PINNs 实现，用于求解 Burgers' 方程和 Helmholtz 方程等偏微分方程（PDE）。\n\n## 环境准备\n\n在开始之前，请确保您的系统满足以下要求：\n- **操作系统**：Linux, macOS 或 Windows\n- **Python 版本**：推荐 Python 3.6 - 3.8（根据依赖包版本兼容性）\n- **硬件加速**（可选）：若使用 GPU 加速，请确保已安装对应的 NVIDIA 驱动和 CUDA 工具包。\n\n## 安装步骤\n\n本项目支持 TensorFlow 2 和 PyTorch 两种后端，请根据需求选择其一进行安装。\n\n### 方案 A：TensorFlow 后端\n\n直接运行以下命令安装指定版本的依赖：\n\n```bash\npip install numpy==1.19.2 scipy==1.5.3 tensorflow==2.0.0 matplotlib==3.3.2 pydoe==0.3.8 seaborn==0.9.0\n```\n\n> **国内加速建议**：如遇下载缓慢，可添加清华源参数：\n> `pip install -i https:\u002F\u002Fpypi.tuna.tsinghua.edu.cn\u002Fsimple ...`\n\n### 方案 B：PyTorch 后端\n\n运行以下命令安装依赖（包含 CPU\u002FGPU 版本）：\n\n```bash\npip install numpy==1.19.2 scipy==1.5.3 matplotlib==3.3.2 pydoe==0.3.8 torch==1.7.1+cu92 torchvision==0.8.2+cu92 torchaudio==0.7.2 -f https:\u002F\u002Fdownload.pytorch.org\u002Fwhl\u002Ftorch_stable.html\n```\n\n> **注意**：\n> 1. 上述命令默认安装 CUDA 9.2 版本。如需其他 CUDA 版本或纯 CPU 版本，请访问 [PyTorch 官网](https:\u002F\u002Fpytorch.org\u002Fget-started\u002Flocally\u002F) 获取对应命令。\n> 2. 国内用户可使用清华 PyTorch 镜像加速：`-f https:\u002F\u002Fdownload.pytorch.org\u002Fwhl\u002Fcu92\u002Ftorch_stable.html` 替换为国内可用源，或直接下载 wheel 文件本地安装。\n> 3. 请勿升级 `seaborn` 至新版本，新版不再支持 `sns.distplot`，会导致梯度直方图绘制报错。\n\n## 基本使用\n\n本仓库目前提供了针对 **Burgers' 方程** 和 **Helmholtz 方程** 的实现示例。\n\n### 1. 核心原理简述\nPINNs 通过将物理定律（PDE 方程）和边界条件融入损失函数来训练神经网络。损失函数定义为域内“配置点”（collocation points）上的 PDE 残差和边界残差的均方误差（MSE）。\n\n### 2. 运行示例\n克隆仓库后，进入项目目录，根据您选择的后端运行相应的脚本（假设脚本名为 `solve_burgers_tf.py` 或 `solve_burgers_torch.py`）：\n\n**TensorFlow 示例：**\n```python\n# 导入必要的库\nimport tensorflow as tf\nfrom pinn_solver import PINN  # 假设的模块路径，具体请参考仓库内脚本\n\n# 初始化模型并训练 (以 Burgers 方程为例)\n# 代码逻辑通常包含：定义网络结构 -> 生成配置点 -> 定义损失函数 -> 优化器训练\n# 本项目研究了 L-BFGS 和 Adam 优化器，推荐对刚性 PDE 使用 L-BFGS 以获得更好的收敛性。\n```\n\n**PyTorch 示例：**\n```python\n# 导入必要的库\nimport torch\nfrom pinn_solver import PINN \n\n# 训练流程\n# 支持自底向上（Bottom-Up）学习机制的观察，即靠近输入层的底层比靠近输出层的上层收敛更快。\n# 同时也支持迁移学习（Transfer Learning），相比随机 Xavier 初始化，有助于找到更优的局部最小值。\n```\n\n*注：由于 README 未提供具体的单文件入口脚本名称，请直接查看仓库根目录下的 `.py` 文件（如 `burgers_tf.py`, `helmholtz_torch.py` 等），直接运行即可复现论文中的实验结果。*\n\n### 3. 进阶特性\n- **优化器选择**：对于刚性 PDE（Stiff PDEs），建议使用 **L-BFGS** 优化器，它能缓解梯度不平衡问题，尽管收敛速度仍受优化地形病态影响。\n- **可视化**：训练完成后，利用 `matplotlib` 和 `seaborn` (v0.9.0) 可查看解的分布及梯度直方图。","某航空航天工程团队正在利用有限的数据点模拟高超音速飞行器表面的复杂气流场，以预测极端条件下的热分布。\n\n### 没有 Physics-Informed-Neural-Networks 时\n- **数据依赖严重**：传统深度学习模型需要海量的标记训练数据才能收敛，而风洞实验成本极高，难以获取足够覆盖全域的样本。\n- **物理一致性差**：纯数据驱动的预测结果往往违背流体力学基本定律（如质量或能量不守恒），导致仿真结果在工程上不可信。\n- **刚性方程难解**：面对具有多尺度特征的刚性偏微分方程（PDE），常规优化器容易陷入局部最优，梯度失衡导致模型无法捕捉高频细节。\n- **泛化能力薄弱**：一旦边界条件发生微小变化，模型必须重新收集数据并从头训练，无法灵活适应新的设计参数。\n\n### 使用 Physics-Informed-Neural-Networks 后\n- **小样本高效训练**：通过将控制方程（如 Burgers'方程）直接嵌入损失函数，仅需少量稀疏观测点即可驱动模型学习，大幅降低对实验数据的依赖。\n- **严格遵循物理规律**：模型在训练过程中自动最小化物理残差，确保输出的速度场和温度场天然满足守恒定律，提升了结果的可解释性与可靠性。\n- **优化刚性问题**：结合 L-BFGS 优化器，有效缓解了梯度路径病态问题，使模型能更稳定地求解复杂刚性方程，准确还原流场的高频特征。\n- **迁移学习加速迭代**：利用预训练权重进行迁移学习，当调整飞行器外形或边界条件时，能快速找到更优解，显著缩短了新场景下的计算周期。\n\nPhysics-Informed-Neural-Networks 的核心价值在于将物理第一性原理与数据驱动深度融合，用极少的数据成本实现了高保真、符合物理规律的复杂系统仿真。","https:\u002F\u002Foss.gittoolsai.com\u002Fimages\u002Fprateekbhustali_Physics-Informed-Neural-Networks_53eeb8f4.png","prateekbhustali","Prateek Bhustali","https:\u002F\u002Foss.gittoolsai.com\u002Favatars\u002Fprateekbhustali_e76dc38a.jpg","Learning how to throw a computer at a problem.","TU Delft","Delft, Netherlands",null,"https:\u002F\u002Fgithub.com\u002Fprateekbhustali",[23,27,31],{"name":24,"color":25,"percentage":26},"Jupyter Notebook","#DA5B0B",98.6,{"name":28,"color":29,"percentage":30},"Python","#3572A5",1.3,{"name":32,"color":33,"percentage":34},"MATLAB","#e16737",0.1,754,153,"2026-04-18T13:16:14","MIT",2,"未说明","可选。若使用 GPU，需安装兼容的 PyTorch 版本（示例中提供了 cu92 即 CUDA 9.2 的安装命令），具体型号和显存大小未说明。",{"notes":43,"python":40,"dependencies":44},"该工具支持 TensorFlow 2 和 PyTorch 两种后端。注意：新版 seaborn 不再支持 sns.distplot，可能导致梯度直方图绘制出错，建议严格使用 README 中指定的 0.9.0 版本。若需使用 GPU，请根据官方指南查找与当前系统匹配的 PyTorch 及 CUDA 版本，示例代码仅针对 CUDA 9.2。",[45,46,47,48,49,50,51,52,53],"numpy==1.19.2","scipy==1.5.3","tensorflow==2.0.0","matplotlib==3.3.2","pydoe==0.3.8","seaborn==0.9.0","torch==1.7.1+cu92","torchvision==0.8.2+cu92","torchaudio==0.7.2",[55,56],"开发框架","其他",[58,59],"pde-solver","pinns","ready","2026-03-27T02:49:30.150509","2026-04-19T15:26:25.645376",[],[],[66,78,86,95,103,112],{"id":67,"name":68,"github_repo":69,"description_zh":70,"stars":71,"difficulty_score":72,"last_commit_at":73,"category_tags":74,"status":60},4358,"openclaw","openclaw\u002Fopenclaw","OpenClaw 是一款专为个人打造的本地化 AI 助手，旨在让你在自己的设备上拥有完全可控的智能伙伴。它打破了传统 AI 助手局限于特定网页或应用的束缚，能够直接接入你日常使用的各类通讯渠道，包括微信、WhatsApp、Telegram、Discord、iMessage 等数十种平台。无论你在哪个聊天软件中发送消息，OpenClaw 都能即时响应，甚至支持在 macOS、iOS 和 Android 设备上进行语音交互，并提供实时的画布渲染功能供你操控。\n\n这款工具主要解决了用户对数据隐私、响应速度以及“始终在线”体验的需求。通过将 AI 部署在本地，用户无需依赖云端服务即可享受快速、私密的智能辅助，真正实现了“你的数据，你做主”。其独特的技术亮点在于强大的网关架构，将控制平面与核心助手分离，确保跨平台通信的流畅性与扩展性。\n\nOpenClaw 非常适合希望构建个性化工作流的技术爱好者、开发者，以及注重隐私保护且不愿被单一生态绑定的普通用户。只要具备基础的终端操作能力（支持 macOS、Linux 及 Windows 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的理想桥梁。此外，它还提供了 MCP（模型上下文协议）服务器，可无缝集成到 Claude Desktop 等 LLM 应用中。\n\n这款工具特别适合开发者、数据科学家及 AI 研究人员使用，尤其是那些需要构建文档检索增强生成（RAG）系统、进行批量文本分析或希望让 AI 助手直接“阅读”本地文件的用户。虽然生成的内容也具备一定可读性，但其核心优势在于为机器",93400,"2026-04-06T19:52:38",[111,55]]