POT: Python 最优传输（Optimal Transport）

这个开源 Python 库提供了多种求解器，用于解决与最优传输（Optimal Transport, OT）相关的优化问题，适用于信号处理、图像处理和机器学习等领域。

网站与文档：https://PythonOT.github.io/

源代码（MIT 许可证）： https://github.com/PythonOT/POT

POT 具有以下主要功能：

• 一系列可微分的最优传输问题求解器，包括：
  • 精确线性 OT、熵正则化 OT 和二次正则化 OT，
  • Gromov-Wasserstein（GW）距离、融合 GW（Fused GW）距离以及各类二次 OT 变体，
  • 针对不同散度（divergence）的非平衡（unbalanced）和部分（partial）OT，
• 固定支撑集和自由支撑集下的 OT 质心（Wasserstein 和 GW），
• 在一维空间、圆环（circle）上以及高斯混合模型（Gaussian Mixture Models, GMMs）之间的快速 OT 求解器，
• 多种与机器学习相关的求解器，例如域自适应（domain adaptation）、最优传输映射估计、子空间学习、图神经网络（Graph Neural Networks, GNNs）层等。
• 支持多种后端，可轻松与 PyTorch、JAX、TensorFlow、NumPy 和 CuPy 数组配合使用。

已实现的功能

POT 提供了以下通用 OT 求解器：

• 用于线性规划/Earth Mover 距离（EMD）[1] 的 OT Network Simplex 求解器。
• 用于正则化最优传输（Regularized OT）[7] 的 条件梯度法（Conditional gradient） [6] 和 广义条件梯度法（Generalized conditional gradient）。
• 基于 Sinkhorn-Knopp 算法 [2] 的熵正则化最优传输（Entropic regularization OT）求解器，包含稳定化版本 [9][10][34]、来自 geomloss 的懒惰 CPU/GPU 求解器 [60][61]、贪心 Sinkhorn [22] 以及 Screening Sinkhorn [26]。
• 用于 Wasserstein 质心（Wasserstein barycenter） [3]、卷积质心（convolutional barycenter） [21] 和解混（unmixing）[4] 的 Bregman 投影方法。
• Sinkhorn 散度（Sinkhorn divergence）[23] 以及基于经验数据的熵正则化最优传输。
• 去偏 Sinkhorn 质心（Debiased Sinkhorn barycenters），即 Sinkhorn 散度质心 [37]。
• 针对 KL 和平方 L2 正则化的平滑最优传输求解器（对偶和半对偶形式）[17]。
• 经验分布之间的弱最优传输（Weak OT）求解器 [39]。
• 使用线性规划（LP）求解器的非正则化 Wasserstein 质心 [16]（仅适用于小规模问题）。
• Gromov-Wasserstein 距离 与 GW 质心（精确解 [13] 与正则化解 [12,51]），并可通过图字典学习（Graph Dictionary Learning）[38] 提供的梯度实现可微分。
• Fused-Gromov-Wasserstein 距离求解器 与 FGW 质心（精确解 [24] 与正则化解 [12,51]）。
• 大规模最优传输的 随机求解器（Stochastic solver） 与 可微损失函数（differentiable losses）（针对半对偶问题 [18] 与对偶问题 [19]）。
• 适用于大规模问题且支持任意损失函数的 Gromov-Wasserstein 抽样求解器 [33]。
• 非正则化的 自由支撑 Wasserstein 质心（free support Wasserstein barycenters） [20]。
• 一维不平衡最优传输（One dimensional Unbalanced OT），采用 KL 松弛 [73]，以及对应的 质心 [10, 25]。此外还包括 精确不平衡最优传输（含 KL 与二次正则化）以及 UOT 正则化路径（regularization path of UOT） [41]。
• 部分 Wasserstein 与 Gromov-Wasserstein 以及 部分 Fused Gromov-Wasserstein（精确形式 [29] 与熵形式 [3]）。
• 切片 Wasserstein（Sliced Wasserstein） [31, 32] 与最大切片 Wasserstein（Max-sliced Wasserstein）[35]，可用于梯度流（gradient flows）[36]。
• 切片不平衡最优传输（Sliced Unbalanced OT）与不平衡切片最优传输（Unbalanced Sliced OT） [82]。
• 圆环上的 Wasserstein 距离（Wasserstein distance on the circle） [44, 45] 与 球面切片 Wasserstein（Spherical Sliced Wasserstein） [46]。
• 图字典学习求解器（Graph Dictionary Learning solvers） [38]。
• 半松弛（Fused）Gromov-Wasserstein 散度 及其对应的 质心求解器（精确与正则化形式 [48]）。
• 量化（Fused）Gromov-Wasserstein 距离 [68]。
• 高效离散多边缘最优传输正则化（Efficient Discrete Multi Marginal Optimal Transport Regularization） [50]。
• 支持多种后端（Pytorch / jax / Numpy / Cupy / Tensorflow 数组）的 多种后端接口，便于使用 POT。
• 光滑强凸最近 Brenier 势（Smooth Strongly Convex Nearest Brenier Potentials） [58]，并扩展至使用 [59] 对势函数进行约束。
• 高斯混合模型最优传输（Gaussian Mixture Model OT） [69]。
• 协同最优传输（Co-Optimal Transport） [49] 与 不平衡协同最优传输（unbalanced Co-Optimal Transport） [71]。
• 融合不平衡 Gromov-Wasserstein（Fused unbalanced Gromov-Wasserstein）[70]。
• 通用代价函数下的最优传输质心（Optimal Transport Barycenters for Generic Costs） [77]。
• 高斯混合模型之间的质心（Barycenters between Gaussian Mixture Models） [69, 77]。

POT 提供以下与机器学习相关的求解器：

• 带域自适应（domain adaptation）的最优传输（Optimal transport），包含 组套索正则化（group lasso regularization）、拉普拉斯正则化（Laplacian regularization） [5] [30] 以及 半监督设置（semi supervised setting）。
• 线性 OT 映射（Linear OT mapping） [14] 和 联合 OT 映射估计（Joint OT mapping estimation） [8]。
• Wasserstein 判别分析（Wasserstein Discriminant Analysis） [11]（需要 autograd + pymanopt）。
• 用于带目标偏移（target shift）的多源域自适应的 JCPOT 算法 [27]。
• 图神经网络 OT 层 TFGW [52] 和 TW (OT-GNN) [53]

更多示例请参见 文档。

使用与引用该工具箱

如果您在研究中使用了本工具箱并觉得它有用，请引用 POT，引用以下当前版本的参考文献以及我们的 JMLR 论文：

Flamary R., Vincent-Cuaz C., Courty N., Gramfort A., Kachaiev O., Quang Tran H., David L., Bonet C., Cassereau N., Gnassounou T., Tanguy E., Delon J., Collas A., Mazelet S., Chapel L., Kerdoncuff T., Yu X., Feickert M., Krzakala P., Liu T., Fernandes Montesuma E. POT Python Optimal Transport (version 0.9.5). URL: https://github.com/PythonOT/POT

Rémi Flamary, Nicolas Courty, Alexandre Gramfort, Mokhtar Z. Alaya, Aurélie Boisbunon, Stanislas Chambon, Laetitia Chapel, Adrien Corenflos, Kilian Fatras, Nemo Fournier, Léo Gautheron, Nathalie T.H. Gayraud, Hicham Janati, Alain Rakotomamonjy, Ievgen Redko, Antoine Rolet, Antony Schutz, Vivien Seguy, Danica J. Sutherland, Romain Tavenard, Alexander Tong, Titouan Vayer, POT Python Optimal Transport library, Journal of Machine Learning Research, 22(78):1−8, 2021. URL: https://pythonot.github.io/

Bibtex 格式如下：

@misc{flamary2024pot,
  author = {Flamary, R{\'e}mi and Vincent-Cuaz, C{\'e}dric and Courty, Nicolas and Gramfort, Alexandre and Kachaiev, Oleksii and Quang Tran, Huy and David, Laurène and Bonet, Cl{\'e}ment and Cassereau, Nathan and Gnassounou, Th{\'e}o and Tanguy, Eloi and Delon, Julie and Collas, Antoine and Mazelet, Sonia and Chapel, Laetitia and Kerdoncuff, Tanguy and Yu, Xizheng and Feickert, Matthew and Krzakala, Paul and Liu, Tianlin and Fernandes Montesuma, Eduardo},
  title = {POT Python Optimal Transport (version 0.9.5)},
  url = {https://github.com/PythonOT/POT},
  year = {2024}
}

@article{flamary2021pot,
  author  = {R{\'e}mi Flamary and Nicolas Courty and Alexandre Gramfort and Mokhtar Z. Alaya and Aur{\'e}lie Boisbunon and Stanislas Chambon and Laetitia Chapel and Adrien Corenflos and Kilian Fatras and Nemo Fournier and L{\'e}o Gautheron and Nathalie T.H. Gayraud and Hicham Janati and Alain Rakotomamonjy and Ievgen Redko and Antoine Rolet and Antony Schutz and Vivien Seguy and Danica J. Sutherland and Romain Tavenard and Alexander Tong and Titouan Vayer},
  title   = {POT: Python Optimal Transport},
  journal = {Journal of Machine Learning Research},
  year    = {2021},
  volume  = {22},
  number  = {78},
  pages   = {1-8},
  url     = {http://jmlr.org/papers/v22/20-451.html}
}

安装

该库已在 Linux、MacOSX 和 Windows 上测试通过。安装时需要 C++ 编译器以构建/安装 EMD 求解器，并依赖以下 Python 模块：

• Numpy (>=1.16)
• Scipy (>=1.0)
• Cython (>=0.23)（仅构建时需要，通过 pip 或 conda 安装时无需）

Pip 安装

您可以通过 PyPI 安装该工具箱：

pip install POT

或者获取最新开发版：

pip install -U https://github.com/PythonOT/POT/archive/master.zip # 添加 --user 参数可进行用户级安装（无需 root 权限）

可选依赖项可通过以下命令安装：

pip install POT[all]

注意：这会安装 cvxopt，其采用 GPL 3.0 许可证。如果您不能使用 GPL 许可的软件，可以单独或按子模块安装特定的可选依赖项。可用的可选安装选项包括 backend-jax, backend-tf, backend-torch, cvxopt, dr, gnn, all。

通过 conda-forge 使用 Anaconda 安装

如果您使用 Anaconda Python 发行版，POT 已在 conda-forge 中提供。安装命令如下：

conda install -c conda-forge pot

安装后检查

正确安装后，应能无错误地导入模块：

import ot

注意：为方便使用，模块名为 ot 而非 pot。

依赖项

某些子模块需要额外的依赖项，具体如下：

• ot.dr（Wasserstein 降维）依赖 autograd 和 pymanopt，可通过以下命令安装：

pip install pymanopt autograd

示例

简短示例

• 导入工具箱

import ot

• 计算 Wasserstein 距离

# a,b 是一维直方图（元素非负且和为 1）
# M 是基础代价矩阵（ground cost matrix）

# 使用统一 API：
Wd = ot.solve(M, a, b).value # 精确线性规划
Wd_reg = ot.solve(M, a, b, reg=reg).value # 熵正则化 OT

# 使用旧版 API：
Wd = ot.emd2(a, b, M) # 精确线性规划
Wd_reg = ot.sinkhorn2(a, b, M, reg) # 熵正则化 OT
# 若 b 为矩阵，则计算 a 到所有 b 的距离并返回向量

• 计算 OT 传输矩阵

# a,b 是一维直方图（元素非负且和为 1）
# M 是基础代价矩阵

# 使用统一 API：
T = ot.solve(M, a, b).plan # 精确线性规划
T_reg = ot.solve(M, a, b, reg=reg).plan # 熵正则化 OT

# 使用旧版 API：
T = ot.emd(a, b, M) # 精确线性规划
T_reg = ot.sinkhorn(a, b, M, reg) # 熵正则化 OT

• 对经验分布计算 OT

# X 和 Y 是形状为 (n_samples, n_features) 的二维数组

# 使用平方欧氏距离度量
T = ot.solve_sample(X, Y).plan # 精确线性规划
T_reg = ot.solve_sample(X, Y, reg=reg).plan # 熵正则化 OT

Wass_2 = ot.solve_sample(X, Y).value # 平方 Wasserstein_2 距离
Wass_1 = ot.solve_sample(X, Y, metric='euclidean').value # Wasserstein 1 距离

• 计算 Wasserstein 重心（barycenter）

# A 是一个 n*d 矩阵，包含 d 个一维直方图
# M 是基础代价矩阵
ba = ot.barycenter(A, M, reg) # reg 为正则化参数

示例与 Notebook

examples 文件夹中包含多个该库的示例和使用案例。完整的文档（含示例及输出）请参见 https://PythonOT.github.io/。

致谢

本工具箱由 Rémi Flamary 和 Nicolas Courty 创建。

目前由以下人员维护：

• Rémi Flamary
• Cédric Vincent-Cuaz

POT 库的所有贡献者列表请见 此处。

POT 的开发得到了以下合作机构的资金或人力支持：

贡献与行为准则

我们欢迎任何形式的贡献，并请遵守 贡献指南。项目所有成员均应遵循 行为准则。

支持

您可以通过以下渠道提问或参与开发讨论：

• POT Slack 频道
• POT Gitter 频道
• POT 邮件列表

您也可以在 GitHub Issues 中提交 bug 报告或功能请求。提交前请务必先阅读我们的 贡献指南。

参考文献

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POT（Python Optimal Transport）快速上手指南

环境准备

• 操作系统：Linux、macOS 或 Windows 均可
• Python 版本：建议使用 Python 3.7 及以上
• 前置依赖：
  • numpy >= 1.16
  • 安装时需系统具备 C++ 编译器（用于编译 EMD 求解器）
• 可选加速：如需 GPU 支持，可配合 cupy；如使用深度学习框架，支持 PyTorch、TensorFlow、JAX 等后端

💡 国内用户建议配置 pip 镜像源（如清华源）以加速安装。

安装步骤

使用 pip 安装（推荐）

pip install POT

国内用户可使用清华镜像加速：

pip install -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple POT

使用 conda 安装

conda install -c conda-forge pot

基本使用

以下是一个使用 Sinkhorn 算法计算正则化最优传输的最简示例：

import numpy as np
import ot

# 生成两个离散概率分布（权重）
a = np.array([0.5, 0.5])  # 源分布
b = np.array([0.3, 0.7])  # 目标分布

# 定义代价矩阵（例如欧氏距离平方）
M = np.array([[0., 1.], [1., 0.]])

# 使用 Sinkhorn 算法求解正则化 OT
T = ot.sinkhorn(a, b, M, reg=0.1)

print("传输计划 T:\n", T)

更多示例（如 Gromov-Wasserstein、OT barycenter、域自适应等）请参考官方文档：https://PythonOT.github.io/